नीचे दो कथन दिए गए हैं: एक को अभिकथन (A) और दूसरे को कारण (R) के रूप में लेबल किया गया है।\nअभिकथन (A): कोटि 3 के किसी सारणिक का मान समान रहता है, चाहे उसका प्रसरण पहली पंक्ति के अनुदिश किया जाए या पहले स्तंभ के अनुदिश।\nकारण (R): किसी भी \( 3 \times 3 \) आव्यूह के लिए, किसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव को \( k \) से गुणा करने पर सारणिक का मान \( k^3 \) गुना हो जाता है। \nउपर्युक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:

A
(A) और (R) दोनों सही हैं और (R), (A) की सही व्याख्या है।
B
(A) और (R) दोनों सही हैं लेकिन (R), (A) की सही व्याख्या नहीं है।
C
(A) सही है लेकिन (R) गलत है।
D
(A) गलत है लेकिन (R) सही है।

उत्तर और समाधान देखें

सही उत्तर · विकल्प C

(A) सही है लेकिन (R) गलत है।

व्याख्या

Assertion (A) is true because expanding along any row or column gives the same determinant value. Reason (R) is false because multiplying only one row by \( k \) multiplies the determinant by \( k \), not \( k^3 \).

मिलते-जुलते प्रश्न

कोटि \( 3 \) के एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह \( A \) के लिए, जिसमें \( |A| = 2 \) है, सूची-I का सूची-II से सुमेलन कीजिए: \n स्तंभ I (आव्यूह व्यंजक) स्तंभ II (सारणिक मान) A \( |A^2| \) 1 \( 4 \) B \( |\text{adj } A| \) 2 \( 16 \) C \( |\text{adj }(\text{adj } A)| \) 3 \( 8 \) D \( |2A| \) 4 \( 16 \) \n नीचे दिए गए विकल्पों में से सही सुमेलन चुनिए:→यदि \( A \), कोटि \( 3 \) का एक ऐसा व्युत्क्रमणीय आव्यूह है कि \( A^2 = 2A \) है, तो सारणिक \( |\text{adj } A| \) किसके बराबर है?→माना \( \Delta = \left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| \) है। यदि \( a_{ij} \) का सहखंड \( A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \) द्वारा निरूपित किया जाता है, तो व्यंजक \( a_{21} A_{11} + a_{22} A_{12} + a_{23} A_{13} \) सर्वसम रूप से बराबर है:→एक \( n \times n \) वर्ग आव्यूह \( A = [a_{ij}] \) (\( n \ge 2 \)) के उपसारणिकों और सहखंडों के संबंध में नीचे कथन दिए गए हैं:\n(A) किसी अवयव \( a_{ij} \) का उपसारणिक, कोटि \( n-1 \) का एक सारणिक होता है।\n(B) सहखंड \( A_{ij} \) सदैव उपसारणिक \( M_{ij} \) के बराबर होता है।\n(C) यदि किसी पंक्ति के अवयवों को किसी अन्य पंक्ति के सहखंडों से गुणा किया जाए, तो उनका योग शून्य होता है।\n(D) सारणिक का मान किसी स्तंभ के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफलों के योग के बराबर होता है।\nउपर्युक्त कथनों में से कौन-से सही हैं?→

सही उत्तर · विकल्प C

व्याख्या

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