द्रव्यमान \( m = 3\text{ kg} \) का एक पिंड समय-निर्भर बल के प्रभाव में इस प्रकार गति करता है कि उसका स्थिति सदिश \( \mathbf{r}(t) = (t^3 \hat{i} + 2t^2 \hat{j} - t \hat{k})\text{ m} \) द्वारा दिया जाता है। \( t = 1\text{ s} \) पर पिंड पर कार्य करने वाले परिणामी बल का परिमाण तथा \( t = 0\text{ s} \) से \( t = 1\text{ s} \) के समय अंतराल के दौरान पिंड को दिए गए आवेग का परिमाण ज्ञात कीजिए।

\( |\mathbf{F}| = 12\sqrt{13}\text{ N} \) और \( |\mathbf{J}| = 30\text{ N s} \)
\( |\mathbf{F}| = 18\text{ N} \) और \( |\mathbf{J}| = 12\text{ N s} \)
\( |\mathbf{F}| = 6\sqrt{13}\text{ N} \) और \( |\mathbf{J}| = 15\text{ N s} \)
\( |\mathbf{F}| = 30\text{ N} \) और \( |\mathbf{J}| = 6\sqrt{13}\text{ N s} \)

सही उत्तर · विकल्प 3

\( |\mathbf{F}| = 6\sqrt{13}\text{ N} \) और \( |\mathbf{J}| = 15\text{ N s} \)

व्याख्या

\( \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = 3t^2 \hat{i} + 4t \hat{j} - \hat{k} \). At \( t = 1\text{ s} \), \( \mathbf{a}(1) = 6 \hat{i} + 4 \hat{j}\text{ m/s}^2 \implies \mathbf{F} = 3(6 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 18 \hat{i} + 12 \hat{j}\text{ N} \implies |\mathbf{F}| = \sqrt{18^2 + 12^2} = 6\sqrt{13}\text{ N} \). Impulse \( \mathbf{J} = m(\mathbf{v}(1) - \mathbf{v}(0)) = 3(3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 9 \hat{i} + 12 \hat{j}\text{ N s} \implies |\mathbf{J}| = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\text{ N s} \).

मिलते-जुलते प्रश्न

एक बंकित वृत्ताकार ट्रैक इस प्रकार डिज़ाइन किया गया है कि \( \tan\theta = \frac{1}{3} \) है। टायरों और ट्रैक के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक \( \mu_s = \frac{1}{3} \) है। इष्टतम चाल \( v_0 \) (जहाँ घर्षण शून्य है) की तुलना में अधिकतम अनुमेय चाल \( v_{\max} \) में प्रतिशत वृद्धि कितनी है?→नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: रेखीय संवेग संरक्षण का नियम किसी विलगित निकाय पर लागू न्यूटन के गति के दूसरे और तीसरे नियमों का प्रत्यक्ष मौलिक परिणाम है। कथन II: दो टकराने वाले पिंडों के बीच अप्रत्यास्थ टक्कर में, निकाय की कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है, लेकिन कुल रेखीय संवेग संरक्षित नहीं रहता है। उपर्युक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनिए:→दिए गए चित्र में, एक लड़की डोरी से बंधे पत्थर को नियत चाल \( v \) से एक क्षैतिज वृत्त में घुमाती है। यदि दर्शाए गए बिंदु पर डोरी अचानक टूट जाती है, तो ऊपर से देखने पर भूमि के सापेक्ष पत्थर का तात्कालिक प्रक्षेप-पथ कैसा होगा?→कोण \( \theta \) वाले आनत समतल पर \( 4\text{ kg} \) द्रव्यमान के एक गुटके को दर्शाने वाले चित्र को देखिए। गुरुत्वाकर्षण बल \( mg \) के आनत समतल के समांतर और लंबवत् घटक क्रमशः क्या हैं?→

सही उत्तर · विकल्प 3

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