दो सदिशों \( \mathbf{A} \) और \( \mathbf{B} \) के परिमाण समान और \( F \) के बराबर हैं। यदि उनके परिणामी सदिश \( \mathbf{R} = \mathbf{A} + \mathbf{B} \) का परिमाण भी \( F \) के बराबर है, तो \( \mathbf{A} \) और \( \mathbf{B} \) के बीच का कोण क्या है, और उनके सदिश अंतर \( |\mathbf{A} - \mathbf{B}| \) का परिमाण क्या है?

A
\( 60^\circ \) और \( F \)
B
\( 120^\circ \) और \( \sqrt{3}F \)
C
\( 120^\circ \) और \( F \)
D
\( 90^\circ \) और \( \sqrt{2}F \)

सही उत्तर · विकल्प B

\( 120^\circ \) और \( \sqrt{3}F \)

व्याख्या

Using \( R^2 = A^2 + B^2 + 2AB\cos\theta \implies F^2 = 2F^2(1 + \cos\theta) \implies \cos\theta = -1/2 \implies \theta = 120^\circ \). The magnitude of vector difference is \( |\mathbf{A} - \mathbf{B}| = \sqrt{F^2 + F^2 - 2F^2\cos 120^\circ} = \sqrt{3}F \).

मिलते-जुलते प्रश्न

दो सदिशों \( \mathbf{P} \) और \( \mathbf{Q} \) का परिणामी सदिश \( \mathbf{P} \) के लंबवत है। यदि परिणामी का परिमाण \( \mathbf{Q} \) के परिमाण के आधे के बराबर है, तो \( \mathbf{P} \) और \( \mathbf{Q} \) के बीच का कोण है:→एक मोटरबोट \( 25\text{ km/h} \) की चाल से उत्तर दिशा में गतिमान है तथा उस क्षेत्र में जल धारा की चाल \( 10\text{ km/h} \) दक्षिण से पूर्व की ओर \( 60^\circ \) के कोण पर है जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। उत्तर दिशा के सापेक्ष परिणामी वेग की दिशा \( \phi \) लगभग होगी:→एक कण \( R \) त्रिज्या के पथ में एकसमान वृत्तीय गति करता है। यदि इसके परिक्रमण की आवृत्ति दोगुनी कर दी जाए जबकि वृत्त की त्रिज्या आधी कर दी जाए, तो नया अभिकेंद्री त्वरण इसके प्रारंभिक अभिकेंद्री त्वरण का कितना गुना हो जाता है?→एक कण बिंदु A से बिंदु B तक \( R = 8\text{ m} \) त्रिज्या के अर्ध-वृत्ताकार पथ पर गति करता है। बिंदु B से, वह मुड़ता है और व्यास AB के लंबवत \( 12\text{ m} \) लंबाई के एक सीधे रेखा खंड के अनुदिश चलता है। कण की प्रारंभिक स्थिति A से कुल विस्थापन का परिमाण क्या है?→

सही उत्तर · विकल्प B

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