सतत पिंड के द्रव्यमान केंद्र के उसके ज्यामितीय केंद्र से संपाती होने के लिए निम्नलिखित में से कौन सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त दोनों है?

पिंड समांगी होना चाहिए और अपने ज्यामितीय केंद्र से गुजरने वाले तलों के परितः परावर्तन सममिति रखता हो।
पिंड बाहरी बलों के तहत शुद्ध घूर्णन संतुलन में होना चाहिए।
पिंड केवल एकसमान मोटाई का समतलीय होना चाहिए।
पिंड पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण शून्य होना चाहिए।

सही उत्तर · विकल्प 1

पिंड समांगी होना चाहिए और अपने ज्यामितीय केंद्र से गुजरने वाले तलों के परितः परावर्तन सममिति रखता हो।

व्याख्या

Due to uniform density and reflection symmetry, every element \( dm \) at \( (x,y,z) \) cancels with \( dm \) at \( (-x,-y,-z) \), making \( \int \mathbf{r} dm = 0 \) at the geometric centre.

मिलते-जुलते प्रश्न

नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: स्थिर अक्ष के परितः कोणीय वेग \( \omega \) से घूर्णन कर रहे जड़त्व आघूर्ण \( I \) वाले पिंड की गतिज ऊर्जा \( K = \frac{1}{2} I \omega^2 \) होती है। कथन II: यदि किसी घूर्णन करते हुए दृढ़ पिंड का कोणीय वेग दोगुना कर दिया जाए, तो उसका जड़त्व आघूर्ण परिवर्तित हो जाता है। उपर्युक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनिए:→दिए गए दो सदिशों \( \mathbf{a} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k} \) तथा \( \mathbf{b} = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k} \) के लिए, सदिश गुणनफल \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \) बराबर है:→एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन गति के संबंध में निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए: (A) केवल बाह्य बल आघूर्णों के वे घटक जो घूर्णन अक्ष के अनुदिश होते हैं, पिंड को अक्ष के परितः घूर्णन करा सकते हैं। (B) स्थिर अक्ष के लंबवत बल आघूर्ण कब्जों/आलंबों द्वारा लगाए गए बाध्यकारी बलों द्वारा संतुलित होते हैं। (C) घूर्णन अक्ष के समांतर बल उस अक्ष के परितः अशून्य बल आघूर्ण उत्पन्न करते हैं। (D) कोणीय चाल \( \omega \) से घूर्णन कर रहे पिंड पर बाह्य बल आघूर्ण \( \tau \) द्वारा किए गए कार्य की दर \( P = \tau \omega \) द्वारा दी जाती है। उपर्युक्त कथनों में से कितने कथन सही हैं? उपरोक्त में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं?→चित्र 6.11 के अनुसार भुजा \( b = 2\text{ m} \) के तीन सर्वसम वर्गों से बनी एक समान L-आकार की पट्टिका (जिसमें मूल बिंदु पर स्थित नीचे-बाएँ वर्ग के शीर्ष \( (0,0) \) से \( (2,2) \) तक हैं) के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक हैं:→

सही उत्तर · विकल्प 1

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