एक गुब्बारा \( S \) पृष्ठ तनाव वाले पदार्थ का बना है और इसके फुलाने वाले मुख (जहाँ से गैस भरी जाती है) का क्षेत्रफल \( A \) है। यह \( \rho \) घनत्व की गैस से भरा है और \( R \) त्रिज्या का गोलीय आकार लेता है। जब गैस को इससे स्वतंत्र रूप से बाहर बहने दिया जाता है, तो इसकी त्रिज्या \( r \), समय \( T \) में \( R \) से \( 0 \) (शून्य) हो जाती है। यदि गुब्बारे से बाहर आने वाली गैस की चाल \( v(r) \), \( r \) पर \( r^a \) के रूप में निर्भर करती है और \( T \propto S^\alpha A^\beta \rho^\gamma R^\delta \) है, तब

\( a = \frac{1}{2}, \alpha = \frac{1}{2}, \beta = -1, \gamma = +1, \delta = \frac{3}{2} \)
\( a = -\frac{1}{2}, \alpha = -\frac{1}{2}, \beta = -1, \gamma = -\frac{1}{2}, \delta = \frac{5}{2} \)
\( a = -\frac{1}{2}, \alpha = -\frac{1}{2}, \beta = -1, \gamma = \frac{1}{2}, \delta = \frac{7}{2} \)
\( a = \frac{1}{2}, \alpha = \frac{1}{2}, \beta = -\frac{1}{2}, \gamma = \frac{1}{2}, \delta = \frac{7}{2} \)

सही उत्तर · विकल्प 3

\( a = -\frac{1}{2}, \alpha = -\frac{1}{2}, \beta = -1, \gamma = \frac{1}{2}, \delta = \frac{7}{2} \)

व्याख्या

Using excess pressure \( P = \frac{4S}{r} \) and Bernoulli's equation \( v = \sqrt{\frac{2P}{\rho}} \), we find \( v \propto r^{-1/2} \), hence \( a = -1/2 \). Using dimensional analysis for time \( T = \int \frac{4\pi r^2 dr}{A v(r)} \), we obtain the correct power exponents.

मिलते-जुलते प्रश्न

\( 5 \times 10^{-6}\text{ Cm} \) द्विध्रुव आघूर्ण वाले एक वैद्युत द्विध्रुव को \( 4 \times 10^5\text{ N/C} \) परिमाण के एक एकसमान वैद्युत क्षेत्र की दिशा में संरेखित किया जाता है। इसके पश्चात द्विध्रुव को वैद्युत क्षेत्र के सापेक्ष \( 60^\circ \) कोण से घुमाया जाता है। द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है:→सूर्य के चारों ओर मंगल की कक्षा की त्रिज्या बुध की कक्षा की त्रिज्या से लगभग 4 गुना है। मंगल का वर्ष 687 पृथ्वी दिवस का है। तब निम्नलिखित में से कौन सा बुध पर वर्ष की लंबाई है?→दो शहर X और Y एक नियमित बस सेवा से जुड़े हैं जिसमें प्रत्येक \( T \) मिनट में दोनों दिशाओं में एक बस छूटती है। X से Y की दिशा में \( 60\text{ km/h} \) की चाल से स्कूटी चला रही एक लड़की देखती है कि उसकी गति की दिशा में हर \( 30 \) मिनट में और विपरीत दिशा में हर \( 10 \) मिनट में एक बस उसके पास से गुजरती है। बस सेवा की अवधि \( T \) और बसों की चाल (नियत मानी गई) के लिए सही विकल्प चुनिए।→दो समरूप कारों A तथा B की गतिज ऊर्जाएँ क्रमशः \( 100\text{ J} \) तथा \( 225\text{ J} \) हैं। ब्रेक लगाने पर, कार A, \( 1000\text{ m} \) के पश्चात तथा कार B, \( 1500\text{ m} \) के पश्चात रुकती है। यदि कारों A तथा B पर ब्रेक द्वारा लगाए गए बल क्रमशः \( F_A \) तथा \( F_B \) हैं, तो अनुपात \( F_A / F_B \) है→

सही उत्तर · विकल्प 3

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