रैखिक अवकल समीकरण \( (\tan^{-1} y - x) \, dy = (1 + y^2) \, dx \) का व्यापक हल है:

A
\( y = (\tan^{-1} x - 1) + C e^{-\tan^{-1} x} \)
B
\( x e^{\tan^{-1} y} = \tan^{-1} y + C \)
C
\( x = (\tan^{-1} y - 1) + C e^{-\tan^{-1} y} \)
D
\( x + y = C e^{\tan^{-1} y} \)

उत्तर और समाधान देखें

सही उत्तर · विकल्प C

\( x = (\tan^{-1} y - 1) + C e^{-\tan^{-1} y} \)

व्याख्या

Rewriting in standard form \( \frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1}y}{1+y^2} \), the integrating factor is \( e^{\tan^{-1}y} \), leading to the solution \( x = (\tan^{-1}y - 1) + C e^{-\tan^{-1}y} \).

मिलते-जुलते प्रश्न

नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: एक समघाती अवकल समीकरण को \( y = vx \) प्रतिस्थापन द्वारा हमेशा पृथक्करण चर रूप में बदला जा सकता है। कथन II: अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + y \sec x = \tan x \) का समाकलन गुणक \( \sec x + \tan x \) है। उपर्युक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनिए:→अवकल समीकरणों के संबंध में निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: (A) शून्य घात का एक समघाती अवकल समीकरण हमेशा \( y = vx \) प्रतिस्थापन द्वारा हल किया जा सकता है। (B) रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + Py = Q \) के लिए समाकलन गुणक (I.F.) \( e^{\int P \, dx} \) द्वारा दिया जाता है। (C) \( \frac{dy}{dx} + y \cot x = 2x + x^2 \cot x \) का व्यापक हल एक लघुगणकीय पद रखता है। (D) यदि \( M \, dx + N \, dy = 0 \) समघाती है, तो प्रतिस्थापन \( x = vy \) भी वैध है। उपर्युक्त में से कौन से कथन सही हैं?→बिंदु \( (-2, 3) \) से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण क्या है जिसके किसी बिंदु \( (x, y) \) पर स्पर्श रेखा की ढलान \( \frac{2x}{y^2} \) है?→यदि \( y = c (x^2 + y^2)^2 \) किसी अवकल समीकरण का व्यापक हल है, तो उस अवकल समीकरण की कोटि क्या होगी?→

रैखिक अवकल समीकरण \( (\tan^{-1} y - x) \, dy = (1 + y^2) \, dx \) का व्यापक हल है:

सही उत्तर · विकल्प C

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