पृष्ठ तनाव के प्रभाव में किसी गोलाकार द्रव की बूंद के दोलन का आवर्तकाल \( T \), द्रव के घनत्व \( \rho \), बूंद की त्रिज्या \( r \), तथा पृष्ठ तनाव \( S \) पर निर्भर करता है। विमीय विश्लेषण विधि द्वारा यदि \( T = k \rho^a r^b S^c \) है (जहाँ \( k \) एक विमाहीन नियतांक है), तो घातांकों \( a, b, c \) के मान क्रमशः होंगे:

A
\( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \)
B
\( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \)
C
\( \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \)
D
\( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \)

उत्तर और समाधान देखें

सही उत्तर · विकल्प A

\( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \)

व्याख्या

Equating dimensions: \( [T] = [M L^{-3}]^a [L]^b [M T^{-2}]^c = [M^{a+c} L^{-3a+b} T^{-2c}] \). Equating exponents gives \( a + c = 0 \), \( -3a + b = 0 \), and \( -2c = 1 \). Solving yields \( c = -1/2 \), \( a = 1/2 \), and \( b = 3/2 \).

मिलते-जुलते प्रश्न

NCERT के सार्थक अंकों को पूर्णांकित (rounding-off) करने के नियमों के अनुसार, \( 3.745 \) तथा \( 3.735 \) को तीन सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर वे क्रमशः बन जाते हैं:→केंद्र से \( r = 0.5\text{ m} \) की दूरी पर स्थित एक गोलीय पृष्ठ का क्षेत्रफल अवयव \( dA = 0.25\text{ m}^2 \), केंद्र पर घन कोण \( \Omega \) अंतरित करता है। समान त्रिज्या \( r = 0.5\text{ m} \) के वृत्त पर \( ds = 0.2\text{ m} \) लंबाई का एक चाप समतल कोण \( \theta \) अंतरित करता है। \( \Omega \) (स्टेरेडियन में) तथा \( \theta \) (रेडियन में) के आंकिक मान का अनुपात है:→चित्र 1.1(b) में दर्शाए अनुसार, घन कोण \( d\Omega \) को गोले के पृष्ठ के परिछिन्न क्षेत्रफल \( dA \) तथा उसकी त्रिज्या के वर्ग \( r^2 \) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। त्रिज्या \( R \) की एक समतल वृत्ताकार चकती को शीर्ष \( O \) से \( d = \sqrt{3}R \) दूरी पर उसके अक्ष के लंबवत रखा गया है। शीर्ष \( O \) पर चकती द्वारा अंतरित घन कोण है:→\( 5.74\text{ g} \) द्रव्यमान का एक पदार्थ \( 1.2\text{ cm}^3 \) आयतन घेरता है। सार्थक अंकों को ध्यान में रखते हुए, इसका घनत्व व्यक्त किया जाना चाहिए:→

सही उत्तर · विकल्प A

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