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Mathematics · JEE | DIFFERENTIAL EQUATIONS

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बिंदु \( (-2, 3) \) से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण क्या है जिसके किसी बिंदु \( (x, y) \) पर स्पर्श रेखा की ढलान \( \frac{2x}{y^2} \) है?

A
\( y^3 = 2x^2 + 19 \)
B
\( y^3 = 3x^2 + 35 \)
C
\( y^3 = 3x^2 + 15 \)
D
\( y^3 = x^2 + 25 \)

उत्तर और समाधान देखें

सही उत्तर · विकल्प B

\( y^3 = 3x^2 + 35 \)

व्याख्या

Setting \( \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y^2} \) and separating variables gives \( y^2 dy = 2x dx \). Integrating yields \( \frac{y^3}{3} = x^2 + C \). Using \( (-2, 3) \), \( \frac{27}{3} = 4 + C \implies C = 5 \), so \( y^3 = 3x^2 + 15 \)... wait, \( 3 = 9 \), hence \( y^3 = 3x^2 + 15 \).

मिलते-जुलते प्रश्न

नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: एक समघाती अवकल समीकरण को \( y = vx \) प्रतिस्थापन द्वारा हमेशा पृथक्करण चर रूप में बदला जा सकता है। कथन II: अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + y \sec x = \tan x \) का समाकलन गुणक \( \sec x + \tan x \) है। उपर्युक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनिए:→अवकल समीकरणों के संबंध में निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: (A) शून्य घात का एक समघाती अवकल समीकरण हमेशा \( y = vx \) प्रतिस्थापन द्वारा हल किया जा सकता है। (B) रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + Py = Q \) के लिए समाकलन गुणक (I.F.) \( e^{\int P \, dx} \) द्वारा दिया जाता है। (C) \( \frac{dy}{dx} + y \cot x = 2x + x^2 \cot x \) का व्यापक हल एक लघुगणकीय पद रखता है। (D) यदि \( M \, dx + N \, dy = 0 \) समघाती है, तो प्रतिस्थापन \( x = vy \) भी वैध है। उपर्युक्त में से कौन से कथन सही हैं?→यदि \( y = c (x^2 + y^2)^2 \) किसी अवकल समीकरण का व्यापक हल है, तो उस अवकल समीकरण की कोटि क्या होगी?→निम्नलिखित में से कौन सा फलन रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dx}{dy} + P_1 x = Q_1 \) के लिए समाकलन गुणक के रूप में कार्य करता है?→

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